Produsul a doua matrici pozitiv definite este pozitiv definit?

Raspuns: Nu neaparat

Interpretare geometrica:

Pozitiv definit inseamna:
$x^T A x >0, \forall x,$
care poate fi rescris ca produsul scalar intre $x$ si $Ax$
$x^T A x  = \langle Ax, x\rangle >0$
Asta inseamna ca vectorul imagine $Ax$ este in acelasi semiplan ca si vectorul $x$ (la dreapta liniei segmentate in figura, unde vectorul $x = OA$).

Acum, matricea B*A este pozitiv definita daca
$x^T BA x > 0, \forall x,$
care poate fi rescris ca produsul scalar intre $Ax$ si $B^Tx$:
$x^T BA x  = \langle B^Tx, Ax \rangle > 0, \forall x.$

In figura avem insa un vectorii $Ax$ (OC) si $B^Tx$ (OD, din greseala este notat Bx) care sunt amandoi in acelasi semiplan cu $x$, dar ei intre ei formeaza un unghi mai mare de 90 grade si deci produsul scalar este negativ. Deci $x^T BA x < 0$.

Importanta simetriei:
O matrice pozitiv definita are toate valorile proprii mai mari ca zero. Dar reciproca nu e intotdeauna valabila, cum se vede in cele de mai jos. O matrice nesimetrica poate avea valori proprii pozitive dar totusi sa nu fie pozitiv definita. Doar daca mai este si simetrica atunci se poate concluziona ca matrice simetrica + valori proprii > 0 implica pozitiv defninita.
A se vedea referinta: http://math.stackexchange.com/questions/4336/if-eigenvalues-are-positive-is-the-matrix-positive-definite


Concluzie: testarea valorilor proprii nu este suficienta pentru a garanta pozitiv definitia decat daca matricea este si simetrica.

Script Matlab:
% Doua matrici pos.def. al caror produs nu e pos.def.:

A = diag([0.1, 100]);
B = [1 -1; 1 1]^-1 * diag([10 0.1]) * [1 -1; 1 1];
x = [1; 0.1];

% Simetrice si eigs > 0 <=> pos.def.
eig(A)
eig(B)

% B*A nu e posdef pentru ca x'(BA)x < 0
x' * B*A * x

% desi are eigs > 0
eig(B*A)

% pentru ca lipseste conditia de simetrie
% Vezi si
% http://math.stackexchange.com/questions/4336/if-eigenvalues-are-positive-is-the-matrix-positive-definite